Operasi Matriks

OPERASI MATRIKS

5.1. Persamaan Linear dalam Matriks

Kita sering menemui persamaan linear dengan beberapa variabel. Di dalam aljabar, solusi persamaan tersebut bisa ditemukan, salah satunya dengan menggunakan matriks. Misalkan kita tinjau sistem persamaan linear dengan variabel x1 dan x2.

x1 – 2x2 = 32
12x1 + 5x2 = 7

Dalam bentuk matriks bisa kita tuliskan :

Dalam Matlab kita tuliskan :

>> A=[1 –2;12 5]; B=[32;7]; 
>> X=inv(A)*B X = 6.0000 -13.0000

Sehingga kita dapatkan solusi x1 = 6 dan x2 = -13, atau kita juga bisa mendapatkan solusi tersebut dengan operator pembaian terbalik :

>> X=A\B X = 6.0000 -13.0000


5.2. Transposisi

Salah satu operasi yang penting dalam matriks adalah transposisi, dituliskan dalam Matlab denan operator petik tunggal („) dan titik petik (.‟). Operasi ini mempertukarkan baris dan kolom dari suatu matriks atau vektor.

•  Petik tunggal („), Operasi transposisi untuk matriks berisi bilangan riil, atau transposisi dan konjugasi untuk matriks kompleks.
•  Titik-petik (.‟), Operasi transposisi tanpa konjugasi. Untuk matriks riil, operator ini memberi hasil yang sama dengan petik tunggal.

Mari kita praktekkan contoh berikut ini untuk memahami kedua operator di atas.

>> Mat_riil=[1 0; 3 5], Mat_kompleks=[1+2i 3i; 1 2+3i] 
Mat_riil = 
1 0 
3 5 

Mat_kompleks = 1.0000 + 2.0000i 0 + 3.0000i 
1.0000 2.0000 + 3.0000i 

>> Transp_riil=Mat_riil',Transp_kompleks=Mat_kompleks' 
Transp_riil = 
1 3 
0 5 

Transp_kompleks = 
1.0000 - 2.0000i 1.0000 
0 - 3.0000i 2.0000 - 3.0000i 

>> Transp_riil2=Mat_riil.' 
Transp_riil2 = 
1 3 
0 5 

>> Transp_kompleks2=Mat_kompleks.' Transp_kompleks2 = 
1.0000 + 2.0000i 1.0000 
0 + 3.0000i 2.0000 + 3.0000i

5.3. Operasi Elemen-per-Elemen

Operasi matematik juga bisa dilakukan elemen-per-elemen. Dalam hal ini matriks atau vektor yang terlibat harus berukuran sama. Operasi yang bisa dilakukan adalah perkalian/pembagian, penjualan/pengurangan, serta pangkat. Operator yang digunakan diawali dengan tanda ¡§titik¡¨ (kecuali penjumlahan/pengurangan), yaitu :
„h + - : Tambah dan kurang (elemen-per-elemen)
„h .*, ./, .\ : Kali, bagi, bagi terbalik (elemen-per-elemen)
„h .^ : Pangkat (elemen-per-elemen)

Operasi penjumlahan/pengurangan matriks secara definit sudah dilakukan elemen-elemen, sehingga + dan ¡V tidak diawali ¡§titik¡¨. Sekarang kita coba praktekkan contoh di bawah ini :

>> A=[1 -2;1 5]; B=[7 5; 2 0]; 
>> A+B 
ans = 
8 3 
3 5 

>> A.*B 
ans = 
7 -10 
2 0 

>> B./A 
ans = 7.0000 -2.5000 
2.0000 0

>> B.^2 
ans = 
49 25 
4 0 

>> A.^B 
ans = 
1 -32 
1 1 

>> 2.^B 
ans = 
128 32 
4 1

Perhatikan bahwa hasil operasi juga berupa matriks berukuran sama dengan A dan B. Pada contoh berikutnya kita coba operasi antar vektor.

>> a = [3 2 1]; b = [4 5 6]; 
>> c = [10 20 30]’; d = [5 10 15]’; 
>> a.*b 
ans = 
12 
10 
6 

>> c.*d 
ans = 
50 
200 
450 

>> a.*c 
??? Error using ==> .* Matrix dimensions must agree.

Perhatikan bahwa ukuran a dan c tidak cocok sehingga muncul pesan error (a berukuran 1x3 sementara c 3x1).


>> b.^a, c./d+2 
ans = 
64 25 6 
ans = 
4 
4 
4 

>> c./2.*d.^2 
ans = 
125 
1000 
3375

Contoh :

1.      Operasi matriks M dan N berikut ini :

a. M + N

b. M – N

c. N + 9

d. MN

e. NM

2.      Pecahkan persamaan linear tiga varibel berikut ini :

x – 2y – 3z = -7
4x + 5y +6z = 11
7x + 8y + 9z = 17

JAWAB

1.     

>> M=[10 20; 5 8]; N=[-1 1; 1 -1];

>> M+N

ans =

     9    21

     6     7

>> M-N

ans =

    11    19

     4     9

>> N+9

ans =

     8    10

    10     8

>> M.*N

ans =

   -10    20

     5    -8

>> N.*M

ans =

   -10    20

     5    -8

2. 

>> A=[1 -2 -3; 4 5 6; 7 8 9]; B=[-7; 11; 17];

>> X=inv(A)*B

X =

   -1.0000

    3.0000

   -0.0000

            Dari data diatas diketahui bahwa nilai x=-1, y=3, z=0.

Terimakasih